(最新版2022版）剑指offer之动态规划题解

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[剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和]

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
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如果使用暴力搜索，时间复杂度就是O(n^2),动态规划为本题的标准解法

根据动态规划五部曲，我们先要对状态进行定义，我定义dp[i]表示nums[i]结尾的子数组它的最大和；

然后分析一下状态转移方程

• 若**dp[i-1] < 0,**则说明dp[i-1]对后面的累加做负贡献，不如重新开始时计数 ,所以 dp[i] = nums[i];
• 若dp[i -1] > 0,则说明dp[i-1]对后面的累加做正贡献，dp[i] = dp[i-1] + nums[i];

或者使用最干脆利落的方法，反正要获取最大值，不如**Math.max(nums[i],dp[i-1]+nums[i])**自己判断

在看一下代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length+1];//表示数组下标到i的最大值
        dp[0] = nums[0]; 
        int ans = nums[0];
        for(int i=1; i<nums.length; i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);//让它自己做判断也可
            ans = ans > dp[i] ? ans : dp[i];
        }
        return ans;
    }
}

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[剑指 Offer 47. 礼物的最大价值]

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
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这题就是robot如何走到终点那题，这题的关键在于如何处理左边界和上边界的特殊情况，由于它是边，它的状态转移来源只有一种，不像是非边的坐标，它有可能从上边来，也有可能从左边来；

处理方法有三种

1. 最笨的法子，if判断一下是不是边界，如果是状态转移特殊处理
2. 初始化边界，我先用for循环把，边界的dp值求好
3. 巧妙的方法，额外加一条虚拟边界，初始化为零即可

下面展示一下第三种方法的代码

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        //状态分析
        //由左边或者上边的状态转移而来
        int m= grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m+1][n+1]; 
        //状态初始化 ：java对象创建的过程中会自动初始化零值，所以这里不需要初始化
        for(int i=1; i<=m; i++){
            for(int j=1; j<=n; j++){
            	//因为有一条虚拟边界，直接遍历就好了
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j]+grid[i-1][j-1],dp[i][j-1]+grid[i-1][j-1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

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[剑指 Offer 46. 把数字翻译成字符串]

给定一个数字，我们按照如下规则把它翻译为字符串：0 翻译成 “a” ，1 翻译成 “b”，……，11 翻译成 “l”，……，25 翻译成 “z”。一个数字可能有多个翻译。请编程实现一个函数，用来计算一个数字有多少种不同的翻译方法。

输入: 12258
输出: 5
解释: 12258有5种不同的翻译，分别是"bccfi", "bwfi", "bczi", "mcfi"和"mzi"
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动态规划五部曲分析它

1. 先定义dp[i]为到子串i为止有多少种翻译方法，注意，根据做题的需要我们可以改

2. 状态转移方程：

   1. 如果当前数字和上一个数字构成的数字落在区间**[10,25]**内，说明可以通过两位数表示字母构成一种方案

      此时的dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];

   2. 相反，两位数如果不落在**[10,25]**内则说明，方案数没有变化，dp[i] = dp[i-1]

3. 状态初始化：要两个初始状态dp[i-1]和dp[i-2],但是，我们的数组下标是从零开始的，i等于1的时候，dp[i-2]就会出现越界的情况，就两种解决方案，一种是特殊处理i=1的情况；另一种是比较取巧的方法，让dp[i]表示nums[i-1]为止有多少种翻译方法，这样就会空闲出像是哨兵一样的位置dp[0]，我们再根据需要把他初始化为1，之后的遍历就非常容易了。

4. 遍历过程：dp[i]由dp[i-1]和dp[i-2]转移而来从小到大遍历就好

看看代码

    public static int translateNum(int num) {
        char[] ch = String.valueOf(num).toCharArray();
        int len = ch.length;
        int[] dp = new int[len + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= len; i++){
            int n = (ch[i - 2] - '0') * 10 + (ch[i - 1] - '0');
            if(n >= 10 && n <= 25){
                dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
            }else{
                dp[i] = dp[i - 1];
            }
        }
        return dp[len];
    }

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以下代码是使用了滚动数组来优化空间，本质还是动态规划，因为只涉及到dp[i]、dp[i-1]、dp[i-2]三种状态

class Solution {
    public int translateNum(int num) {
        String s = String.valueOf(num);
        int a = 1, b = 1;
        for(int i = 2; i <= s.length(); i++) {
            String tmp = s.substring(i - 2, i);
            int c = tmp.compareTo("10") >= 0 && tmp.compareTo("25") <= 0 ? a + b : a;
            b = a;
            a = c;
        }
        return a;
    }
}

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值得补充的是，我清楚compareTo方法来自Comparable接口还是Comparator接口，以及这二者的区别我也不是很了解，查阅了一下

Comparable -> compareTo
Comparator -> compare
二者的区别与联系
Comparable相当于“内部比较器”，经常用于有序映射或者有序集合的排序
而Comparator相当于“外部比较器”，通常使用匿名内部类或者说lambda表达式实现对象的比值。
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因为不是动态规划具体要了解的内容，我以后再专门总结一下这两者的使用

[剑指 Offer 48. 最长不含重复字符的子字符]

题外话：面字节实习的时候就是这一题

例如abcabcbb的最长不重复子字符串就是abc，所以输出长度3

**思路：hashmap + 双指针 **

class Solution {
    public int lengthOfLongestSubstring(String s) {
        Map<Character, Integer> dic = new HashMap<>();
        int i = -1, res = 0;
        for(int j = 0; j < s.length(); j++) {
            if(dic.containsKey(s.charAt(j)))
                i = Math.max(i, dic.get(s.charAt(j))); // 更新左指针 i
            dic.put(s.charAt(j), j); // 哈希表记录
            res = Math.max(res, j - i); // 更新结果
        }
        return res;
    }
}

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思路：hashmap + 动态规划

动态规划状态分析

i表示左边出现重复的索引

• j - i <= dp[j-1]: i在子串中出现了，dp[i] = j -i
• j - i > dp[j -1]: i 没在子串中出现 , dp[i] = dp[i-1]+1;

由于dp[i]的状态只有dp[i-1]转移而来，所以可以用滚动数组来记录dp数组

class Solution {
    public int lengthOfLongestSubstring(String s) {
        Map<Character, Integer> dic = new HashMap<>();
        int res = 0, tmp = 0;
        for(int j = 0; j < s.length(); j++) {
            int i = dic.getOrDefault(s.charAt(j), -1); // 获取索引 i
            dic.put(s.charAt(j), j); // 更新哈希表
            tmp = tmp < j - i ? tmp + 1 : j - i; // dp[j - 1] -> dp[j]
            res = Math.max(res, tmp); // max(dp[j - 1], dp[j])
        }
        return res;
    }
}
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[剑指 Offer 48. 矩形覆盖]

public class Solution {
    public int rectCover(int target) {
        if(target == 0 || target == 1 || target == 2){
            return target;
        }

        //状态转移方程：f(n) = f(n - 1) + f(n - 2);
        int pre = 1;
        int cur = 2;
        int res = 0;
        for(int i = 2; i < target; i++){
            res = cur + pre;
            pre = cur;
            cur = res;
        }
        return res;
    }
}
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[剑指 Offer 买卖股票的最好时机(一)]

import java.util.*;


public class Solution {
    /**
     *
     * @param prices int整型一维数组
     * @return int整型
     */
    public int maxProfit (int[] prices) {
        // write code here
        if (prices.length == 0) {
            return 0;
        }

        //int buy = Integer.MAX_VALUE;
        int buy = prices[0];
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < prices.length; i++) {
            //如果prices[i]比要买的小，就更新buy，取小的值
            if (prices[i] < buy) {
                buy = prices[i];
            }

            //prices[i]减去卖的，比原来的收入要大，就卖出去，更新max。
            if (prices[i] - buy > max) {
                max = prices[i] - buy;
            }
        }
        return max;
    }
}
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