洛谷千题详解 | P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条【C++、 Java、Python语言】

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题目描述

输入格式

输出格式

输入输出样例

 解析：

C++源码：

Java源码：

Python源码：

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题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 [0,100]内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

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输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 m 和 n，表示班里有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度。每行的 n 个整数之间用空格隔开。

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输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

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输入输出样例

输入 #1

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出 #1

34

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 解析：

其实是一个很简单的棋盘形dp，我能想到的有两种做法。

第一种做法是四维dp，这也是最好想的，设f[i][j][k][l]为从小渊传到小轩的纸条到达(i,j)，从小轩传给小渊的纸条到达(k,l)的路径上取得的最大的好心程度和。

完全可以换一个思路想，即求从给定的起点出发走到指定位置的两条最短严格不相交路线。

那么特别显然，转移方程是 f[i][j][k][l]=max( f[i][j-1][k-1][l] , f[i-1][j][k][l-1] , f[i][j-1][k][l-1] , f[i-1][j][k-1][l] )+a[i][j]+a[k][l]。

要小心l的枚举范围，应该是从j+1到m，只有这样，在枚举第二条路的时候可以控制下标的l不会和j有相等的可能，这样可以保证两条路一定不相交（想一想，为什么）

由于终点的值是0，所以目标状态就是f[n][m-1][n-1][m]。

如果你不想这样做，那就让l直接从1枚举，但需要加一个判断，判断当前的(i,j)和(k,l)是不是重合了，如果重合那就把f数组对应的这个地方在转移后减掉一个a[i][j]或者a[k][l]。

原数据比较弱，这个算法时间复杂度是O(n^2 * m^2)的，所以可以过。

第二种做法为三维dp，如果这道题数据被加强了一点，那就应该用这个方法。

仔细观察，我们不难发现一个规律，对于每次转移，这两位同学的纸条走的步数总是相等的，也就是应该总有i+j = k+l = step，我们从这里考虑入手，简化一下那个方程。

我们枚举走的步数，同时枚举第一个人和第二个人的横坐标或者纵坐标，对，只枚举一个就好，另一个可以算出来。

我枚举的是横坐标。

但这样做第一维（也就是枚举步数那一维）要开两倍大小（步数最大有n+m-1），并且需要加入判断重合操作。

优化之后速度比上一个快很多，它的时间复杂度是O(n^2*(n+m)).

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C++源码：

#include 
#include 
#include 
#define maxn 55
using namespace std;
int f[2 * maxn][maxn][maxn];
int a[maxn][maxn];
int n,m;
 
int max_ele(int a,int b,int c,int d){
    if (b>a)
        a = b;
    if (c>a)
        a = c;
    if (d>a)
        a = d;
    return a;
}
 
int main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            cin >> a[i][j];
    for (int k=1;k<=n+m-1;k++)
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++){
                if (k-i+1<1 || k-j+1<1) //这里是判断纵坐标的合法性，如果纵坐标不合法那就跳过去
                    continue;
                 f[k][i][j] = max_ele(f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j-1],f[k-1][i][j-1],f[k-1][i-1][j]) + a[i][k-i+1] + a[j][k-j+1];
                if (i==j) //判断重合路径
                    f[k][i][j]-=a[i][k-i+1];
            }
 
 
    cout << f[n+m-1][n][n] << endl;
    return 0;
}

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Java源码：

import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args)
    {   Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int m=sc.nextInt();
        int n=sc.nextInt();
        int[][] room=new int[m+1][n+1];///存放每位同学的好感度
        int[][][][] dp=new int[m+1][n+1][m+1][n+1];
        for(int i=1;i<=m;i++)//二维数组初始化（且不用数组[0][0]）
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
                room[i][j] = sc.nextInt();
        }
         for(int x1=1;x1<=m;x1++){
            for(int y1=1;y1<=n;y1++){
                for(int x2=1;x2<=m;x2++){
                    for(int y2=1;y2<=n;y2++){
                    //两个位置相遇了则跳过本次循环
                        if((x1
                            continue;
                        //相当于从起点到终点找两条无重复路径且距离和最大的路径！！
                        //比较线路1的前一步值
			int compare1=Math.max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1]);//room[x2][y2]在变化
                        //比较线路2的前一步值
                        int compare2=Math.max(dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1]);//room[x1][y1]在变化
                        //更新最大值
                        //在上一个最大值的基础上，再添加两个点的好感度。也就是每次循环都有两个点（一来一回一起计算）
                       dp[x1][y1][x2][y2]=Math.max(compare1,compare2)+room[x1][y1]+room[x2][y2];
                     }
                }
                }
        }
        System.out.println(dp[m][n][m][n]);
    }
}
 

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Python源码：

while True:
    try:
        m,n = map(int,input().split())
        s = []
        for i in range(m):
            s.append(list(map(int,input().split())))   #完成输入
        dp = [[[[0 for j in range(n+1)]for i in range(m+1)]for y in range(n+1)]for x in range(m+1)]
        for i in range(1,m+1):
            for j in range(1,n+1):
                for x in range(1,m+1):
                    for y in range(1,n+1):
                        dp[i][j][x][y] = max(dp[i - 1][j][x - 1][y], dp[i][j - 1][x - 1][y], dp[i - 1][j][x][y - 1],dp[i][j - 1][x][y - 1]) + s[i-1][j-1] + s[x-1][y-1]
                        if i == x and j == y:
                            dp[i][j][x][y] -= s[i-1][j-1]
        print(dp[m][n][m][n])
    except:
        break

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