洛谷 P3263 [JLOI2015]有意义的字符串

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题目

题目描述

B 君有两个好朋友，他们叫宁宁和冉冉。有一天，冉冉遇到了一个有趣的题目：输入 b;d;n，求

$$\lfloor (\frac{b+\sqrt{d}}{2}{)}^n\rfloor \mathrm{mod}p$$

其中$p=7528443412579576937$

输入格式

一行三个整数 b;d;n

输出格式

一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。

样例 #1

样例输入 #1

1 5 9
1

样例输出 #1

76
1

提示

其中 $0<b^2\le d<(b+1{)}^2\le 10^{18}$,$n\le 10^{18}$，并且 b mod 2=1,d mod 4=1

题解

看到 $(\frac{b+\sqrt{d}}{2}{)}^n$ 的时候，数学比较好的人应该就会反应出一个平方差公式，所以就会想到 $(\frac{b-\sqrt{d}}{2}{)}^n$，那么我们会发现，这两个是方程$x^2-bx+\frac{b^2-d}{4}=0$的两根。
移项可得：$$x^2=bx+\frac{b^2-d}{4}$$
再同时乘以$x^{n-2}$可得：$$x^n=b{x}^{n-1}+\frac{b^2-d}{4}{x}^{n-2}$$
令$f_i=(\frac{b+\sqrt{d}}{2}{)}^i+(\frac{b-\sqrt{d}}{2}{)}^i$，则$f_i$为整数，且$f_i=b{f}_{i-1}+\frac{b^2-d}{4}{f}_{i-2}$，$f_0=2$，$f_1=b$，所以可以用矩阵乘法求出$f_n$（因为会爆long long，所以推荐用__int128）

最后当$b^2\ne d$且$n$为偶数的时候，答案为$f_n-1$，否则为$f_n$。

注意不要把矩阵初始化的时候打错了，我调了一个多小时，最后发现是初始化的时候有两个写反了。

代码实现

100pts

//洛谷 P3263 [JLOI2015]有意义的字符串
#pragma GCC optimize(3)
#include
#include
using namespace std;
const __int128 p=7528443412579576937;
__int128 b,d,n;
__int128 z[2][2];
__int128 a[2][2];
__int128 s[2][2];

void mi(__int128 n){
	while(n){
		if(n&1){
			for(int i=0;i<=1;++i){
				for(int j=0;j<=1;++j){
					s[i][j]=(z[i][0]*a[0][j]+z[i][1]*a[1][j])%p;
				}
			}
			for(int i=0;i<=1;++i){
				for(int j=0;j<=1;++j){
					a[i][j]=s[i][j];
				}
			}
		}
		for(int i=0;i<=1;++i){
			for(int j=0;j<=1;++j){
				s[i][j]=(z[i][0]*z[0][j]+z[i][1]*z[1][j])%p;
			}
		}
		for(int i=0;i<=1;++i){
			for(int j=0;j<=1;++j){
				z[i][j]=s[i][j];
			}
		}
		n>>=1;
	}
}

void in(__int128 &x){
	int nt;
	x=0;
	while(!isdigit(nt=getchar()));
	x=nt^'0';
	while(isdigit(nt=getchar())){
		x=(x<<3)+(x<<1)+(nt^'0');
	}
}

inline void wr(__int128 x)
{
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) wr(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}

int main(){
	in(b),in(d),in(n);
	z[0][1]=1;
	z[1][0]=((d-b*b)/4)%p;
	z[1][1]=b;
	a[0][0]=1;
	a[1][1]=1;
	mi(n);
	if(b*b!=d&&n%2==0){
		wr((a[0][0]*2%p+b*a[0][1]-1)%p);
	}
	else{
		wr((a[0][0]*2%p+b*a[0][1])%p);
	}
	return 0;
}
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