自动控制原理 - 2 控制系统的数学模型 节2.4-2.6

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2 控制系统的数学模型2.4 控制系统的传递函数2.5 典型环节的传递函数2.6 结构图的绘制

2 控制系统的数学模型

2.4 控制系统的传递函数

为何引入传递函数？

微分方程模型的优缺点：是时间域的数学模型，比较直观。给定条件与输入信号后借助于电子计算机可以迅速而准确的求得响应进而分析性能。但不便于分析结构或参数变化对系统性能的影响。因此，微分方程的方法研究控制系统对于参数变化或结构形式的改变的分析具有局限性，即对于参数变化后的系统需要重新写微分方程。

传递函数：复数域的数学模型，因此在研究系统结构或参数变化对性能的影响方面非常方便。

什么是传递函数：线性定常系统的传递函数，是零初始条件下系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。不是线性定常的系统是没有传递函数的。对非线性时变是不能用的。

零初始条件的含义：1.系统的输入在t>0时才作用于系统。即在t=0时系统输入及其各项导数均为零。2.输入在加于系统之前，系统为稳态。即在t=0时输出及其所有导数为零。不满足零初始条件的系统是有传递函数的，并且仍然在零初始条件下求解传递函数。

已知微分方程求传递函数，几个概念，传递函数形式及其性质如下图：

建立传递函数案例：

分子介数高于分母为什么物理不可实现，例如输入为单位阶跃响应，它的拉氏变换为1/s，那么假设系统函数是S即物理不可实现，那么输出1 的拉式反变换为脉冲信号，他是物理不存在的。

零初始条件下根据系统的输入输出关系求传递函数：

非零初始条件下根据系统的输入输出关系求传递函数：

C(s)=零输入响应+零状态响应

传递函数局限：只适用于定常系统的表达；因为零初始条件下得到传递函数，因此不反应初始状态信息；只反应输入输出关系，无法反应内部信息。

2.5 典型环节的传递函数

对时间常数形式展开分析：对7个基本单元性质逐个分析。

分别介绍7个典型环节传递函数与基本特性

实际中并不存在真正的微分环节，不然就可以预测股票趋势。

上述7个环节是构成线性定常系统的基本单元，实际中还会遇到延滞环节。

值得注意的是典型环节并不等于控制系统的某个元部件，一个复杂的元部件可能是多个典型环节组合。有了这些典型环节可以帮助分析由此组成系统的特性以及增加减少典型环节对控制系统性能影响。

2.6 结构图的绘制

结构图：对控制系统信号间函数关系和传递关系的图形表达又称为方框图。

为何引出结构图：原理图反应系统的物理结构，但缺少系统各个变量间的定量关系。微分方程和传递函数模型都是用数学表达式描述输入和输出间的定量关系，但他们不能反应系统内部信号间关系。

结构图优点：控制系统的描述通常会以结构图的形式给出，因为结构图既能描述系统中各变量间的定量关系，进而可以化简得到输入输出间定量关系。又能明显地表示各部件之间的连接关系，体现信号流动情况。

结构图组成讲解如下：

绘制结构图例子：

求解微分方程或者传递函数需要消除中间变量，但绘制结构图就不用了。直接在零初始条件下对4个方程进行拉氏变换。

绘制方框图的三种思路方法：以直流电机反馈系统为例子。方法一按照信号传递顺序绘制。

方法二：按照元器件为单位来绘制。

根据每个元器件的方程在零初始条件下进行拉式变换，为了方便其中Gr与Gd表示有用输入和负载输入的传递函数。

方法三：由微分方程模型来绘制。

对同一系统，在确定了输入与输出后，其结构图具有非唯一性。不同的结构图所表达的总的输入输出关系是等效的，由此得到的系统传递函数是确定唯一的，不同的是中间变量。结构图中的方框≠实际元部件，可能代表几个元部件或者整个系统传递函数。