深度学习入门（十） 模型选择、过拟合和欠拟合

前言

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模型选择

例子：预测谁会偿还贷款？

银行雇你来调查谁会偿还贷款

• 你得到了100个申请人的信息
• 其中五个人在3年内违约了

发现：
你发现所有的5个人在面试的时候都穿了蓝色衬衫
你的模型也发现了这个强信号
这会有什么问题?

训练误差和泛化误差

训练误差:模型在训练数据上的误差
泛化误差:模型在新数据上的误差
例子:根据摸考成绩来预测未来考试分数

• 在过去的考试中表现很好(训练误差)不代表未来考试—定会好（泛化误差)
• 学生A通过背书在摸考中拿到很好成绩
• 学生B知道答案后面的原因

验证数据集和测试数据集

验证数据集:一个用来评估模型好坏的数据集

• 例如拿出50%的训练数据
• 不要跟训练数据混在一起（常犯错误)

测试数据集:只用一次的数据集。例如

• 未来的考试
• 我出价的房子的实际成交价
• 用在Kaggle私有排行榜中的数据集

K-则交叉验证

在没有足够多数据时使用(这是常态)
算法:

• 将训练数据分割成K块
• For i = 1,...,K
• 使用第i块作为验证数据集，其余的作为训练数据集·报告K个验证集误差的平均
• 常用:K=5或10

总结

• 训练数据集:训练模型参数
• 验证数据集:选择模型超参数
• 非大数据集上通常使用k-则交叉验证

过拟合和欠拟合

模型容量

拟合各种函数的能力：

• 低容量的模型难以拟合训练数据
• 高容量的模型可以记住所有的训练数据

模型容量的影响

估计模型容量

难以在不同的种类算法之间比较

• 例如数模型和神经网络

给定一个模型种类，将有两个主要因素

• 参数的个数
• 参数值的选择范围

VC维

• 统计学习理论的一个核心思想
• 对于一个分类模型，VC等于一个最大的数据集的大小，不管如何给定标号，都存在一个模型来对它进行完美分类

线性分类器的VC维

2维输入的感知机，VC维=3
能够分类任何三个点，但不是4个(xor)
支持N维输入的感知机的VC维是N+1
一些多层感知机的VC维$O(Nlo{g}_{2}N)$

VC维的用处

提供为什么一个模型好的理论依据

• 它可以衡量训练误差和泛化误差之间的间隔

但深度学习中很少使用

• 衡量不是很准确
• 计算深度学习模型的VC维很困难

数据复杂度

多个重要因素

• 样本个数
• 每个样本的元素个数
• 时间、空间结构
• 多样性

总结

• 模型容量需要匹配数据复杂度，否则可能导致欠拟合和过拟合
• 统计机器学习提供数学工具来衡量模型复杂度
• 实际中一般靠观察训练误差和验证误差

代码展示

通过多项式拟合来交互地探索这些概念

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
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使用以下三阶多项式来生成训练和测试数据的标签：

max_degree = 20
n_train, n_test = 100, 100
true_w = np.zeros(max_degree)
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)
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看一下前2个样本

true_w, features, poly_features, labels = [
    torch.tensor(x, dtype=torch.float32)
    for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]
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输出：

(tensor([[-1.9729],
         [-0.1230]]),
 tensor([[ 1.0000e+00, -1.9729e+00,  1.9462e+00, -1.2799e+00,  6.3127e-01,
          -2.4909e-01,  8.1905e-02, -2.3084e-02,  5.6929e-03, -1.2480e-03,
           2.4621e-04, -4.4159e-05,  7.2602e-06, -1.1018e-06,  1.5527e-07,
          -2.0422e-08,  2.5182e-09, -2.9225e-10,  3.2032e-11, -3.3262e-12],
         [ 1.0000e+00, -1.2304e-01,  7.5698e-03, -3.1047e-04,  9.5502e-06,
          -2.3502e-07,  4.8195e-09, -8.4715e-11,  1.3030e-12, -1.7813e-14,
           2.1918e-16, -2.4517e-18,  2.5138e-20, -2.3793e-22,  2.0911e-24,
          -1.7153e-26,  1.3191e-28, -9.5474e-31,  6.5263e-33, -4.2264e-35]]),
 tensor([-11.1878,   4.9593]))
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实现一个函数来评估模型在给定数据集上的损失

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  
    """评估给定数据集上模型的损失。"""
    metric = d2l.Accumulator(2)
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]
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定义训练函数

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss()
    input_shape = train_features.shape[-1]
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1, 1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1, 1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(
                net, train_iter, loss), evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())
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三阶多项式函数拟合(正态)

train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])
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输出：

线性函数拟合(欠拟合)

train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])
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输出：

高阶多项式函数拟合(过拟合)

train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)
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QA：

1、SVM应用于分类想比神经网络的缺点？
SVM对于数据样本大的情况不好。SVM可以调的东西不多，比较平滑。
神经网络优点在于它是一个“语言”，神经网络很灵活，可编程线强。虽然SVM数学解释好，但是可解决的问题少。

2、K则交叉验证在大数据集的深度学习中应用不多，因为训练成本高。一般都是在数据量不够的情况下才用。

3、k则交叉验证中，k的确定主要取决的能够承受的计算成本。

4、模型参数≠超参数
模型参数：W，b
超参数：可选的模型参数之外的参数

5、
方案1：k则交叉验证确定超参数，再在整个数据集上训练一次
方案2：用k则交叉验证中的最好的参数
方案3：用k则交叉验证中的k个数据值在结果的均值。