欧拉公式的证明

常用的麦克劳林级数展开式子：

$$e^{\mathrm{x}}=1+\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2!}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{3!}+\cdots +\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}!}+\cdots =\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}!},(-\infty <\mathrm{x}<+\infty )$$

$$\sin \mathrm{x}=\mathrm{x}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3!}+\frac{{\mathrm{x}}^5}{5!}-\frac{{\mathrm{x}}^7}{7!}+\cdots +\frac{(-1{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}+1}}{(2\mathrm{n}+1)!}+\cdots =\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}+1}}{(2\mathrm{n}+1)!},(-\infty <\mathrm{x}<+\infty )$$

间接展开，由$\sin x$求导得：
$$\cos \mathrm{x}=1-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2!}+\frac{{\mathrm{x}}^4}{4!}-\frac{{\mathrm{x}}^6}{6!}+\cdots +\frac{(-1{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}{(2\mathrm{n})!}+\cdots =\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}{(2\mathrm{n})!},(-\infty <\mathrm{x}<+\infty )$$

参考博客

欧拉公式的证明

$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$

$$e^{j\theta }=1+j\theta -\frac{{\theta }^2}{2!}-\frac{j{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+...=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{j^n{\theta }^n}{n!}$$

$\cos \theta =\underset{n=0}{\sum ^{\infty }}\frac{(-1{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}{(2\mathrm{n})!}j\sin \theta =\underset{n=0}{\sum ^{\infty }}\frac{j(-1{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}+1}}{(2\mathrm{n}+1)!}$

又因为

∑ ∞ n = 0 j n θ n n ! = { ( − 1 ) n θ 2 n ( 2 n ) ! j ( − 1 ) n θ ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{j^{n}\theta^{n}}{n!}= \left\{

\right. n=0∑∞​​n!jnθn​=⎩ ⎨ ⎧​​(2n)!(−1)nθ2n​(2n+1)!j(−1)nθ(2n+1)​​
$$\cos \theta +j\sin \theta =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{j^n{\theta }^n}{n!}$$

所以欧拉公式得证