图形学-变换(平移矩阵，旋转矩阵，缩放矩阵，线性变换，放射变换，齐次坐标)

1.变换

1.1 什么是变换?

变换（Transform）是计算机图形学中非常重要的一部分。变换包含模型变换（Modeling transform）以及视图变换（View transform）。模型变换指的是变换模型（被拍摄物体）的位置，大小和角度；视图变换指的是变换照相机的位置和角度。从相对运动的角度来看，两种变换是可以相互转化的。

1.2 模型变换

1.2.1 二维变换

1. 缩放变换

缩放变换（Scale）中，如果一个图片以原点 (0, 0) 为中心缩放 𝑠 倍。那么点 (𝑥, 𝑦 ) 变换后数学形式可以表示为

写成矩阵形式为：

当然，我们也可以给 x 轴和 y 轴不同的缩放倍数 𝑠𝑥 和 𝑠𝑦。在非均匀情况下，缩放变换的矩阵形式为

2. 反射变换

反射变换（Reflection）指的是图片对着 x 轴或者 y 轴做对称变换。对于图片上的点 (𝑥, 𝑦 ) 在经过 x 轴
的对称反射变换后，数学形式可以表示为：

表示成矩阵形式为：

同理可以得到 y 轴对称反射变换后的变换矩阵为：

沿原点反射变换的变换矩阵为：

3. 切变变换

切变变换（Shear），指的是在物理学上指的是两个距离很近、大小相等、方向相反的平行力作用于同一物体上所引起的形变。使用示意图可以更直观的去表示什么是切变。如图2.2所示，是图片在 x 轴方向上发生了切变。从图中我们可以看出所有点在 y 轴上的坐标不变，在 x 轴上的坐标满足：𝑦 = 0 上的点，x 轴坐标不发生变化；𝑦 = 1 上的点水平方向上移动了 𝑎 个长度。因此对于任意一个点来说，水平方向上移动长度为𝑎𝑦。

切变的矩阵变换可以写作：

4. 旋转变换

我们默认旋转变换（Rotate）都绕着原点 (0, 0) 旋转，并且默认旋转方向为逆时针方向（逆时针方向旋
转角度值为正，顺时针旋转角度值为负）。旋转变换的推导过程比较复杂（见后续推导过程）。结论如下：当一个点 (𝑥, 𝑦 ) 绕着原单 (0, 0) 旋转 𝜃 角时，变换矩阵可以表示为：

5. 线性变换

对于任何一种变换如果可以写作：

矩阵形式可以表示为：

那么我们认为这种变换是线性变换（Linear transformation）。

2. 齐次坐标

1. 平移变换

平移变换（Translation）相比于以上的线性变换有特殊的地方。平移变换的数学形式为：

这种数学表示不能写作线性变换的矩阵形式，只能记作：

说明平移操作不是线性变换。但是我们不希望把平移操作看作特殊变换，因此需要把这些变换统一起
来，就引入了齐次坐标。

2. 齐次坐标的引入

为了统一变换操作，我们引入一个新的维度。对于二维的点 (𝑥, 𝑦 ) 我们可以增加一个维度，对于 2 维的
点可以表示为 (𝑥, 𝑦, 1)𝑇，2 维向量的 (𝑥, 𝑦, 0)𝑇。因此，一个点的平移可以用矩阵表示为：

为什么点补充维度大小为 1，但是向量补充维度大小为 0？

对于向量来说，平移变换不应该使向量的结果发生变化。因此补充维度为 0 的时候可以屏蔽
平移带来的影响。
对于加入齐次坐标的点和向量满足：

• 向量 + 向量 = 向量
• 点-点 = 向量
• . 点 + 向量 = 点
• 点 + 点 = 两个点中点
  对引入齐次坐标的点的扩充定义如下：
  

因此一个点加上另一个点的结果是两个点的中点。引入了扩充定义点和向量的加法是有意义的。

3. 仿射变换

仿射变换（Affine）包含线性变换与平移变换。可以用矩阵表示为：

使用齐次坐标后可以写作：

4. 逆变换

任何变换的逆变换（Inverse transform）的变换矩阵 𝑀 的逆矩阵 𝑀−1 表示。

5. 变换的组合与分解

变换的组合
可以用矩阵的乘法进行变换的组合（Transform compose）。变换的先后顺序不同，变换的结果不同。矩
阵和向量的乘法是从右到左依次相乘，从右到左依次应用变化。如果我们要依次应用变化 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, ⋯，写成矩阵形式：

根据矩阵运算的结合律, 我们可以先把变换矩阵乘在一起，接下来把这个矩阵的乘积和向量相乘。可
以用一个矩阵表示一个复杂的变换。

变换的分解
所有的复杂变换都可以分解成多个普通的变换。为了使某个图像沿着某个点 𝑐 变换，我们可以分解为
以下步骤：

1. 把中心点 𝑐 移动到原点
2. 进行旋转；
3. 把中心点(0,0)移动到原来的中心点

用变换矩阵表示为：

3. 三维变换

3 维变换可以类比于 2 维变换得到引入齐次坐标的点和向量，3 维的点可以表示为 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 1)𝑇，3 维向量可以表示为 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 0)𝑇。当 𝑤 ≠ 0 的时候：(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 ) = (𝑥/𝑤, 𝑦/𝑤, 𝑧/𝑤, 1)

使用 4 × 4 的矩阵来表示仿射变换：

左上角表示是一个3✖3的线性变换
在仿射变换中的变换矩阵表示先线性变换在平移

1. 3 维变换中缩放变换

3 维变换中缩放变换的变换矩阵：

2. 维变换中的平移变换

三维变换中平移变换的变换矩阵：

3. 三维变换中的旋转变换

当空间内的物体绕着 x 轴，y 轴或者 z 轴旋转的时候，变换矩阵为：

对于一般性的旋转问题，可以用简单的旋转描述复杂的旋转。用 x 轴，y 轴和 z 轴上的旋转来定义旋转：

这三个角就被称作欧拉角（Euler angles）。

4. 罗德里格斯旋转公式
   绕着旋转轴 n 旋转角度 𝛼。默认旋转轴是过原点的，对于不过原点的条件可以将图形平移到过原点的
   旋转轴上，旋转后再平移回去。罗德里格斯旋转公式（Rodrigues’ Rotation Formula）是：